第二十四章首日竞赛

    2009年，适逢国际数学奥林匹克imo举办50届，国际数学奥林匹克委员会举行了50周年庆典活动。

    在这场50周年庆典，出现了很多闻名世界的数学家。

    庆典结束后，则是正式比赛，来自全球105个国家和地区的近560名学生将参加本届比赛。

    整个比赛持续一周时间。

    比赛选手将在这为期一周的时间内攻克数学难题，争夺数学奥林匹克的金银铜牌。每个国家的参赛选手，都抱着为国争光的决心前来征战世界。

    3月15日，竞赛拉开帷幕

    imo一共六道题，今天考三题，明天考三题，每题7分，满分是42分。每个竞赛日的竞赛时间为45个小时，可携带任何文具及作图工具，一切电子设备不被允许带入赛场。

    因为竞赛时间较长，各选手可自带食物饮料进场，可并携带不多于三本的参考资料。

    但是秦元清除了带了一些吃喝的，其他参考资料一本没带，因为按照以前的情况，参考资料基本上没有什么用的，出题人早已考虑到这些，要是参考资料能够找到解决办法，说明出题人的出题水平太烂了。

    这就如同国内考试，开卷考往往比闭卷考难得多。

    因为本国选手拿到题目，都已经是换成本国文字，所以选手拿到试卷，都不会存在任何语言文字的障碍。

    秦元清拿到试卷，只有三题，第一题是最简单的，要是连第一题都不会做，那么后面两题都不用考虑了。

    秦元清很冷静，第一道题最简单，是送分题，可是同样的，一不小心就变成了送命题。

    “1、n是一个正整数，a1，（k≥2）是{1，2，，n}中的不同整数，并且n|ai（ai1-1）对于所有i=1，2，，k-1都成立，证明：ak（a1-1）不能被n整除。”

    秦元清看了三遍题目，心中暗骂一下提供这题的人以后生孩子没屁眼，竟然暗设陷阱，一个不小心就会答错掉。

    秦元清开始作答，首先利用数学归纳法证明：对任意的整数i（2≤i≤k），都有被整除，得出当i=2时，由已知得能被乘除的结论成立。一步步以此展开，最后得出，ak（a1-1）不能被n整除的结论。

    然后秦元清又看向第二道题。

    “△abc外接圆的圆心为o，p、q分别在线段ca、ab上，k、l、m分别是bp、cq、pq的中点，圆Г过k、l、m并且与pq相切。证明：op=oq。”

    秦元清这一题审题完成，倒是觉得这一题比上一题容易一些，没有设陷阱。先是做了一个圆，然后化作△abc，然后又作出ca、ab线段以及p、q二点，然后标出bp、cq、pq的中点k、l、m。最后作出圆Г。

    随后以直线pq与圆Г相切，相切点m，然后通过弦切角定理得出∠qmk=∠mlk。由于点k、m分别是bp、pq的中点，所以km∥bq，从而得出∠qmk=∠aqp。

    因此得到∠mlk=∠aqp。

    同理，∠mkl=∠apq。

    根据角的相等，得到△mkl∽△apo，从而得到mk/ml=ap/aq

    因为k、l、m分别是线段bp、cq、pq的中点，所以得到km=bq/2，lm=cp/2，将此带入上式得bq/cp=ap/aq，将式子转为ap·cp=aq·bq。通过圆幂定理知op2=oa2-ap·cp=oa2-aq·bq=oq2

    所以，得出结论op=oq。

    秦元清连检查都没有检查，将抽向的数学问题转为图像，这个是他擅长的地方，他有十全的把握证明。

    紧接着秦元清看向第三题，“3、s1，s2，s3，是严格递增的正整数数列，并且它的子数列ss1、ss2、ss3，和ss11，ss21，ss31都是等差数列。证明：s1，s2，s3是一个等差数列。”

    看着这一题，秦元清微皱起眉头，这一题明显比前面两道题难得多，秦元清将已知条件稍微捋了一下，这一道题融合了等差数列、以及转换法。

    秦元清一步一步地展开，通过数列以及子数列都是严格的递增的正整数数列，设ssk=a（k-1）d1，ssk1=b（k-1）d2（k=1，2，a、b、d1、d2∈n）。

    将问题转为函数、数列后，以sk<sk1<sk1及{sn}的单调性，知对任意的正整数k，有ssk<ssk1≤ssk1。即a（k-1）d1<b（k-1）d2≤akd1

    因此a-b≤（k-1）（d2-d1）≤ad1-b。由k的任意性知d2-d1=0，得到d2=